Che
rapporti intervengono tra
di
Ivan Genesio
----------------------------------------
-
Tutto
ebbe inizio il giorno in cui Pitagora passò di fronte all'officina di un
fabbro, e si accorse che il suono dei martelli sulle incudini era a volte consonante,
e a volte dissonante. Incuriosito, entrò nell'officina, si fece mostrare i martelli,
e scoprì che quelli che risuonavano in consonanza avevano un preciso rapporto
di peso. Ad esempio, se uno dei martelli pesava il doppio dell'altro, essi
producevano suoni distanti un'ottava. Se invece uno
dei martelli pesava una volta e mezzo l'altro, essi producevano suoni distanti
una quinta (l'intervallo fra il do e il sol). Tornato a casa,
Pitagora fece alcuni esperimenti con nervi di bue in tensione, per vedere se qualche
regola analoga valesse per i suoni generati da strumenti a corda, quali la lira.
Sorprendentemente, la regola era addirittura la stessa! Ad esempio, se una
delle corde aveva lunghezza doppia dell'altra, esse producevano suoni distanti
un'ottava. Se invece una delle corde era lunga una
volta e mezzo l'altra, esse producevano suoni distanti una quinta.
Tutta
la teoria degli intervalli e' nata proprio dalle
osservazioni pitagoriche! Ricapitolando, se la corda di lunghezza x emette un
do, la stessa corda di lunghezza x/2 suona a frequenza doppia, ed emette un do all'ottava
superiore. La lunghezza x/3 dà un sol; x/4 ancora un do, questa volta due
ottave sopra, x/5 infine un mi (si e' composto un
accordo di do maggiore! Non è un caso, naturalmente: l'accordo "suona
bene" proprio perché la fisica ci insegna che
quando si fa vibrare una corda, si ascolta in realtà anche tutta una serie di
armonici: se poi si suona un accordo maggiore, i vari armonici entrano in
risonanza, rinforzandosi tra loro).
Facendo
un po' di conti, e riportando tutte le note nella stessa ottava per comodità di
lettura, ecco le frequenze relative per tutte le note dal do al do all'ottava
superiore, eccetto il fa# (non per niente forma con il do il diabolico
tritono!).
----------------------------------------
do 1
reb
16/15
re
9/8
mib
6/5
mi
5/4
fa
4/3
sol
3/2
lab
8/5
la
5/3
sib
9/5
si
15/8
do 2
Frequenze
relative degli intervalli a partire dal do
("b" sta per bemolle)
----------------------------------------
Come
si puo' notare, si hanno numeri piccoli tranne che per gli intervalli di
seconda minore e settima maggiore (rispettivamente intervallo do-sib e do-si)
che del resto sono abbastanza dissonanti (provare per credere). Un po' di
matematica, per verificare che i conti tornino: per arrivare dal fa al do (un intervallo di quinta) occorre proprio moltiplicare
per 3/2, e se si ricalcola la quinta di un sol, si arriva ad un re all'ottava
sopra di frequenza in rapporto 9/4. Scendendo di un ottava
(dividendo per due) si ottiene proprio 9/8 (intervallo di seconda maggiore
do-re). Sarebbe possibile dilungarsi ancora sulla discussione intervalli –
frequenze relative, ma visto che l'ambizione di questo
elaborato e' individuare e discutere in breve tutte le eventuali relazioni e
gli svariati accostamenti tra musica e scienze matematiche e fisiche, si
consiglia al lettore interessato la lettura delle pagine web [1] e [2] .
----------------------------------------
In
perfetto stile scientifico, dall'osservazione e dall'esperimento Pitagora dedusse
quindi una teoria; la coincidenza di musica, matematica e natura.
Poiché
nelle leggi dell'armonia scoperte da Pitagora intervenivamo soltanto numeri
frazionari, detti anche numeri razionali, ed i rapporti armonici corrispondevano
perfettamente a rapporti numerici, Pitagora enunciò la sua scoperta nella
famosa massima: tutto è (numero) razionale. Essa codifica la fede nella intelligibilità matematica della natura, ed è il
presupposto metafisico dell'intera impresa scientifica, di cui Pitagora è stato
appunto il padre fondatore. D' altrocanto la comprensione della natura attraverso
le scienze matematiche rimane un obiettivo primario
per la scienza oggi.
----------------------------------------
La
storia della musica, come quella della fisica, ha recepito
ed elaborato in maniera profonda il credo pitagorico. Già Pitagora stesso aveva
scoperto che la sua teoria musicale aveva qualche difetto: infatti
i rapporti numerici corrispondenti, rispettivamente, a un tono e due semitoni
non coincidevano, e differivano di una quantità piccola ma percettibile all'orecchio,
che fu chiamata comma pitagorico. La soluzione matematica del temperamento, che
consiste nel dividere l'ottava in due semitoni uguali, fu trovata soltanto nel
secolo XVIII e richiese l'assegnazione di un valore irrazionale al semitono. Infatti secondo la teoria ondulatoria applicata alla musica,
se si raddoppia la frequenza, si ottiene la stessa nota (Pitagora avrebbe usato
una corda lunga la meta' di quella originale), ma più alta di un'ottava. Ad
esempio, il tradizionale "la" che emette un diapason ha frequenza 440
Hz, quello un'ottava sopra avrà frequenza 880, ecc... Ora, dato che le note fra
un'ottava e l'altra (comprese le varie alterazioni date da diesis e bemolle)
sono 12, e le loro frequenze sono in progressione geometrica (cioe' si possono
ricavare tutte le note attraverso una produttoria), allora si può calcolare il
valore per cui bisogna moltiplicare nel passaggio da
una frequenza a quella della nota successiva.
Chiamando X tale valore, F la frequenza da cui si parte. La nota successiva ha frequenza F*X, quella
dopo ancora (F*X)*X=F*X^2, e così via fino alla dodicesima, con frequenza
F*X^12. Ma questa nota è la stessa iniziale un'ottava sopra, ovvero
il doppio della frequenza di base, come spiegato sopra. L'equazione risultante
è allora F*X^12 = 2*F, equivalente a X^12 = 2, che si risolve per X uguale alla
radice dodicesima di 2 (circa 1.0595). Si e' quindi
ricavata una costante attraverso la quale e' possibile determinare qualsiasi
frequenza dell'onda di qualsiasi nota (per esempio sapendo che la -> 440 Hz
allora Sib -> 440 * 1.0595 = 466,18).
----------------------------------------
-
Oltre
I
Pitagorici usavano la musica per curare il corpo e per elevare l’anima; inoltre
essi credevano che la musica terrena non fosse nient’altro che un flebile
eco dell’universale "armonia delle sfere". Nell’antica cosmologia, le
sfere planetarie si elevavano dalla Terra al Cielo come una scala a pioli. Si diceva che ogni sfera corrispondesse ad una nota differente
di una grandiosa scala musicale. I particolari toni emessi dai pianeti
dipendevano dalle proporzioni delle loro rispettive orbite, proprio come il
tono di una corda della lira dalla sua lunghezza. Un altro genere di scala
celeste collegava i toni dei pianeti alle loro apparenti velocità di rotazione attorno
alla Terra.
----------------------------------------
Platone,
Plinio, Cicerone e Tolomeo sono fra i filosofi del
mondo antico che considerarono la musica delle sfere. La dottrina venne trasmessa all’Europa del MedioEvo, dove essa
trovò la sua espressione più gloriosa nell’architettura delle maestose
abbazie e cattedrali, deliberatamente disegnate per adattarsi alle proporzioni
dell’armonia musicale e geometrica.
L’ermetico
inglese Robert Fludd (1574-1637 ) immaginò grandi scale celesti che misuravano
3 ottave e livelli di esistenza collegati fra i mondi primitivi
sub-planetari ai cori esultanti di intelligenze angeliche oltre le stelle.
----------------------------------------
Nel
1619 Keplero, nel suo libro "Armonia del mondo", descrisse le leggi musicali
che regolano il moto dei pianeti, e il risultato fu
veramente sorprendente, un'incredibile fusione e sintesi di geometria,
astrologia, astronomia e armonia musicale: egli dimostro' infatti che i
rapporti geometrici su cui è costruito l'universo sono come un'armonia
musicale. Le armonie che noi sentiamo con la musica ne
sono un eco. Vi sono rapporti di note armoniche (1/2 ottava ,
2/3 quinta , 3/4 quarta , 3/5 sesta, ...) concordi, mentre altri sono discordi
(3/7, 1/7). La ragione, secondo Keplero è che i rapporti armonici vengono solo
da poligoni regolari costruibili con solo compasso e riga (es. pentagono sì,
ettagono no). I cinque corpi regolari tridimensionali (lo spazio) rappresentano
Le
misurazioni di Keplero hanno rivelato quindi corde ed armonie polifoniche in
perenne cambiamento come i pianeti si muovono tra il Perielio e l'Afelio. In
più egli ha avuto il merito di aver spostato il centro
di attenzione sulle armonie celesti dalla Terra al Sole: "D'ora in poi non
sarà più un'armonia creata a beneficio del nostro pianeta, ma la canzone che il
cosmo suona al suo signore e al suo centro, il Sole-logos". Il noto astronomo
Fred Hoyle concorda con il fatto che la corrispondenza tra rapporti musicali e
velocità dei pianeti come descritta da Keplero sia "spaventosamente
buona". L'allievo di Keplero Francis Warrain ha avuto il merito di
ampliare le ricerche del proprio maestro e scoprire che la velocità angolare di
Nettuno, Urano e Plutone, che non erano stati ancora scoperti
durante la vita di Keplero, corrispondevano anch'essi a delle proporzioni
armoniche.
La musica delle sfere è quindi molto di più di una stupenda
intuizione poetica: le dinamiche del sistema solare, enunciate per la prima
volta dal genio matematico di Keplero, sono direttamente analoghe alle leggi
dell'armonia musicale.
----------------------------------------
-
... E finalmente Bach ed i suoi Canoni -
Non
poteva mancare il sublime Johann Sebastian Bach (1685 - ?) ingegnere, geometra,
matematico nelle sue composizioni, fedele al principio di Pitagora che la
matematica e la musica sono materie strettamente
imparentate.
Come
già ampiamente sottolineato, i principi matematici
dell’armonia musicale sono direttamente correlati alla geometria - che
Goethe descrisse come "musica congelata": opere Bachiane quali le
Variazioni Goldberg, l'Offerta musicale e l'Arte della fuga utilizzano in
maniera sistematica trasformazioni geometriche che invertono, ribaltano e
dilatano temi musicali. Le stesse trasformazioni, basilari per tutta la
polifonia, sono poi state formulate esplicitamente agli inizi del secolo come
regole della dodecafonia. Allora, attraverso il linguaggio della geometria (e
soprattutto le isometrie del piano in se’ che permettono di trasformare
il grafico di una funzione) e’ possibile descrivere e apprezzare le
cosiddette simmetrie musicali. Vediamo come: la funzione si ottiene dalla
melodia se si considera il tempo come variabile indipendente e l'altezza della
nota come variabile dipendente. Dato un tema si possono
costruire le varie voci traslandole sull'asse dei tempi, così da farle
sovrapporre al tema con un certo ritardo (un esempio classico è il canone di
"Fra' Martino"). Una traslazione sull'asse verticale cambia le note
del tema dato e quindi la tonalità.
Invertendo
il segno alla variabile dipendente o a quella indipendente,
si esegue una riflessione. E infine, uno stiramento è una variazione di unità di misura sull'asse orizzontale e sull'asse
verticale.
Sono
solo queste le semplici regole geometriche che permettono di rappresentare
graficamente la struttura dei canoni, cioè di quelle composizioni
che, più genericamente identificate come contrappunti, si costruiscono
combinando tra loro melodie più o meno autonome. Nell'"Offertamusicale"
di Bach, in cui oltre a una fuga a tre voci, una a sei
e un trio, sono presenti dieci canoni derivati da un unico tema assegnato al
musicista dal re di Prussia Federico il Grande nel 1747. Si consiglia la
visione del sito [19] per un approfondimento dei canoni di Bach, attraverso una
visione multimediale della sua geniale musica.
Dall'osservazione
che certe figurazioni grafiche si ripetevano in tutte le opere di Bach, e che
il grande artista sembrava preferire certi numeri rispetto agli
altri ha fatto sorgere l'idea che ci fosse un significato metaforico e
cabalistico nelle sue opere.
Egli
visse in un'epoca di forte razionalità, accanto a grandi fisici e matematici
come Newton e Leibniz. Nacque alla fine di un secolo,
il XVII, del tutto sconvolto dalle affermazioni di Galileo sull'universo, che avevano dato un fervore nuovo al pensiero scientifico. Ma era anche un'epoca in cui la fede e la tradizione
religiosa intessevano fittamente la vita quotidiana.
La
devozione di Bach verso la scienza si fuse così con quella verso
Contando
le battute che formano i motivi melodici soggetti a variazioni (temi), ci si
accorge che sono sempre tre o potenze di tre: nelle
Variazioni Goldberg, dopo un'Aria tra le più belle scritte da Bach si
susseguono 30 variazioni tutte sul medesimo basso. Di queste, le numero 3, 6,
9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 sono canoni. Il numero 3 ricorre dunque con molta
insistenza, questo proprio perché i riferimenti numerici avevano una importanza fondamentale a quei tempi in quanto simboli
dell'unità tra l'uomo e il Creatore, tra il microcosmo umano e la tendenza
verso l'infinito.
L'abilità
che il grande artista dimostrava nei confronti dei giochi numerici
gli servì anche per mettere la sua firma sulla musica che componeva. Ma non solo in fondo al foglio. Per esempio, il tema
"Si-b, La, Do, Si" ricorre in tutta la terza
parte del Klavieruebung. Ma secondo la notazione
inglese, che identifica ogni nota con una lettera, lo stesso tema si scrive
"B, A, C, H".
Ancora:
le celebri Variazioni Goldberg celano un sofisticato
simbolismo. Nell'aria iniziale vi sono tre variazioni minori, ventotto maggiori
e una in chiusura. Dunque: 3, 2, 8, 1. Ma ricorrendo
alla gemmatria, che identifica le lettere con la loro posizione nell'alfabeto,
si ritrova C, B, H, A. Non solo: l'effetto grafico delle quattro lettere, nella
scrittura di Bach, è quello di un quadrato, la forma perfetta. E non è finita. Il numero 14, cioè 3+2+8+1,
si presenta con insistenza: nella Fuga in mi minore, il tema ricorre 14 volte e
14 sono le note della prima riga del corale per organo Con ciò mi presento
davanti al tuo trono, mentre l'intera melodia ne conta 41. Che non solo è il
rovescio di 14, ma è anche la somma di 9+18+14: J, S,Bach.
----------------------------------------
Recentemente,
il premio Pulitzer 1980 per la saggistica è stato assegnato a "Goedel,
Escher, e Bach", best-seller di Douglas R.
Hofstadter, che approfondisce appunto i rapporti i numeri del matematico Kurt
Goedel, i disegni di Maurits Cornelis Escher e le note di Johann Sebastian
Bach. L’approccio logico-matematico che Hofstadter propone, supportato da
rigorose analisi computerizzate, non solo conferma che nella musica di Bach
sono contenuti tutti gli aspetti di un’analisi rigorosissima a livello strutturale ma
anche la presenza di un’applicazione dei principi logico-matematici
di sviluppo la cui rigorosita’ ed esattezza potrebbero fare invidia
alle piu’ recenti applicazioni dell’informatica e dell’intelligenza
artificiale. Bach ha infatti utilizzato, per la
costruzione delle sue opere elementi, regole, teorie e teoremi che verranno
sviluppati ed enunciati solo duecento anni dopo di lui!
----------------------------------------
- Dove Stiamo Andando, i Nuovi Aspetti -
Il
pitagorismo rimane ben vivo anche nella fisica moderna, e non solo come
generica matematizzazione della natura. Anzitutto, se la fisica classica
aveva
riformulato il motto pitagorico come: "tutto è (numero) reale" o
"tutto
è (numero) immaginario", la fisica atomica sembra essere ritornata
alla
versione originale, in cui sono proprio i numeri interi a determinare
le
caratteristiche della natura a livello microscopico, attraverso la
discretizzazione di quantità che si supponevano continue, prima fra tutte
l'energia.
Inoltre, nel tentativo più recente di arrivare ad una
teoria
unitaria della natura, la cosiddetta teoria delle stringhe di Witten, le
costituenti ultime della materia vengono non più pensate come punti
(im)materiali,
ma come pezzi di corda che vibrano in uno spazio
pluridimensionale, ed i cui modi di vibrazione (o suoni) costituiscono le
particelle elementari.
Il
fisico e matematico americano Brian Greene sostiene
che forse l'eleganza
più
attraente che ci sia è quella matematica, quella che amava Platone:
perché in
essa sta la semplicità che permette di ricondurre fenomeni
apparentemente molto diversi fra loro a un solo principio. Dentro alla
materia,
dopo gli atomi e dopo i quark, al di sotto di tutte le particelle
ci
sono - ci dice Greene in questo viaggio che dal microcosmo del mondo
subatomico ci porta fino al macrocosmo delle galassie e dell'intero
universo - soltanto stringhe, ovvero minuscoli anelli uni-dimensionali di
energia
che vibra. Come dire, all'inizio di tutto c'è la musica. E
infatti
per
Greene tutto quel che c'è è paragonabile alle note che può produrre la
vibrazione delle corde di uno strumento come un violino; come facendole
vibrare in
un certo modo otteniamo un do e in un altro un sol, così a un
certo
schema di vibrazione delle stringhe corrisponde un elettrone, a un
altro un
protone e così via, fino a ricostruire l'infinita ricchezza
dell'universo.
L'universo, dunque, ancora una volta eccolo come come
una
immensa
sinfonia.
----------------------------------------
Inoltre,
ultimamente, grazie all'aiuto delle tecnologie informatiche,
scienza e
musica hanno ritrovato una strada da percorrere insieme: se i
filosofi antichi immaginavano il suono di stelle e pianeti, gli artisti -
scienziati di oggi stanno realizzando e studiando armonie che provengono da
mondi
piccolissimi, a volte nascosti dentro di noi. Sostanze organiche come
il
DNA, le proteine e gli ormoni sono composte da elementi che somigliano
straordinariamente, da un punto di vista strutturale, ai ritmi musicali.
Grazie
alla collaborazione del botanico K.W. Bridges e del biologo M.A.
Clark,
e’ stato sviluppato un programma, il BIO 2 Midi
http://www.algoart.com/ , in grado di tradurre la struttura degli
aminoacidi
in
sequenze musicali (da sottolineare il fatto che, nelle opere del discusso
Bach,
in seguito ad un’attenta analisi, appare che per la
costruzione di alcune sue opere, il grande musicista
si sia avvalso dei principi di autoreferenza e autoreplicazione, propri della
struttura del DNA!).
Attraverso
queste composizioni musicali, che sembrano invitare al sogno e alla
contemplazione, è stato possibile aggiungere qualche osservazione che potrebbe risultare feconda anche da un punto di vista scientifico.
Infatti, sono state individuate affinità tra molecole proteiche che
appartengono a organismi animali molto lontani da un
punto di vista evolutivo. Il valore estetico di queste armonie non è dunque
disgiunto da potenzialità conoscitive.
----------------------------------------
Ancora
nel campo informatico sono molti interessanti i nuovi algoritmi in grado di
generare musica, attraverso numeri, funzioni matematiche, immagini [20], [21],
[22]; per non parlare poi dei parallelismi tra caos, frattali e musica, [23] . Infine, per concludere in
maniera un po’ misteriosa, è caldamente suggerita, soprattutto agli
amanti dei cosiddetti fenomeni extraterrestri, la visione di un sito [17] nel
quale si ipotizza addirittura un legame tra crop circles - teoremi geometrici
ovviamente in relazione alle leggi armoniche della musica! Sembra quindi non
esserci (per fortuna) mai fine…
----------------------------------------
-
Pagine Web Consigliate (risultati di una ricerca
ragionata) -
1-
Pillole di Teoria Musicale (sintetico corso di musica)
http://beatles.cselt.it/~mau/musica/musica.html
2-
Temperamenti: contraddizioni e compromessi di un sistema
http://www.anyware.it/allegroespressivo/musicaclassica/mcla1b.html
3-
Il senso fisico
http://www.euresis.org/documenti/senso_fisico.htm
4-
Storia della Matematica e della Musica
http://www.provincia.venezia.it/lartis/log/musica/musica.htm
5-
Giovanni Keplero e
http://www.armonics.net/articoli/keplero.html
6-
J.S.Bach
http://web.tiscalinet.it/valdesiamessina/Bach.html
7-
http://www.unitn.it/unitn/numero23/bach.html
8-
http://www.galileonet.it/archivio/mag/000708/3_art.html
9-
Simmetrie Sinfoniche
http://www.galileonet.it/archivio/mag/971115/3_frame.html
10-
Leibniz e
http://lgxserver.uniba.it/lei/filmusica/fmclmod1.htm
11-
Guido D’Arezzo
http://www.provincia.venezia.it/lartis/log/musica/guido.htm
12-
MateMusica
http://www.ibnet.it/phoenix/matemusica-st.htm
13-
Un bach insolito…
http://space.tin.it/musica/fborsari/arretra/fondo/fondo33.html
14-
Matematica e Musicatra tra frattali e note musicali
http://riemann.unica.it/attivita/colloquium/cadeddu/musicamatematica/
15-
http://www.nautilus.ashmm.com/9809it/cultura/dna.htm
16-
Festival dell’Aurora – Crotone
http://www.krol.it/turismo/aurora97/pres-ita.htm
17-
Crop Circles Musica Vivente
http://www.extraterrestre.it/musicavivente.htm
18- Math-Music discussion
http://www.math.niu.edu/~rusin/uses-math/music/
19-
Bach Multimedia
http://jan.ucc.nau.edu/~tas3/bachindex.html
20- Musinum – the
Music in the Numbers
http://bfws7e.informatik.uni-erlangen.de/~kinderma/musinum/musinum.html
21- Musical Generator
http://www.musoft-builders.com/links/amg.shtml
22- The Music of PI
23- Fractals and Music
http://www.discovery.com/stories/technology/fractals/fractals.html
----------------------------------------
-
Bibliografia -
Douglas
R. Hofstadter, Godel, Escher, Bach un’Eterna Ghirlanda Brillante,
ED.
Adelphi, 1984 Milano;
Alexander
Roob, Il Museo Ermetico – Alchimia Mistica, ED. Taschen, 1997
Milano;
A.
Castelli, P. Colombo, Il Dizionario dei Misteri –
allegato allo speciale Martin Mystere n°13, Bonelli Editore, Maggio 1996,
Milano.