Die Grundidee zu der Komposition "On-To-Sû, So-Na-Ta" kam mir bei der Beschäftigung mit einem Artikel von Daniel Muzzulini [2], in welchem dieser eine Erweiterung von Mazzolas mathematischem Modell zur musikalischen Modulation [1] auf beliebige 7-elementige Skalen der wohltemperierten Stimmung beschreibt und auf theoretischem Wege eine ausgezeichnete Position der in der klassischen Musik verwendeten Skalen herzuleiten sucht - mit Argumenten, die mich nicht immer überzeugten.
Ein möglicher Weg zu Hinweisen auf Antworten zu den aufgeworfenen Fragen wie: wodurch sich die klassischen musikalischen Skalen denn nun eigentlich auszeichnen, oder wie sich die von Mazzola beschriebenen mathematischen Strukturen musikalisch auswirken, ist es, die Theorie in die Praxis umzusetzen. Ich habe mir also eine von der klassischen Theorie leicht abweichende harmonische Struktur ausgewählt und angefangen, damit zu experimentieren.
Das vorliegende Stück "On-To-Sû, So-Na-Ta" ist das Resultat dieses Experiments - in erster Linie jedoch handelt es sich um Musik. Ich habe mich auch um die Theorie nicht übermässig gekümmert - nach einer gewissen Zeit des Experimentierens auf dem Klavier war ich in der Lage, über weite Strecken ohne "Rechnen" zu arbeiten (es handelt sich also um ein "herkömmlich" komponiertes Stück). Eine a-posteriori-Analyse der Modulationen des Stückes wäre aufschlussreich, etwa ob die Übereinstimmung zwischen Mazzolas Theorie und Praxis ähnlich hoch ist wie bei der diatonischen Skala. Ich habe dies vor, fand jedoch bisher die Zeit nicht. (Zu Mazzolas Theorie der musikalischen Modulation siehe [1] oder [2]).
Zum Hören, auch ohne Theorie:
Da die dem Stück zugrundeliegende Harmonik von der klassischen nur leicht abweicht, lässt es sich auch ohne Kenntnis der Theorie anhören (es bleibt natürlich Geschmackssache...); dafür habe ich hier die KOMPLETTE MIDI-DATEI, ferner die Noten (PDF-Format).
Allerdings wird man mit hoher Wahrscheinlichkeit Probleme haben, die genauen Zeitpunkte der Modulationen herauszuhören. Ein kleiner Tip hierzu: das Stück hat die Form eines klassischen Sonatensatzes - eine Form mit teils vorgegebener Modulationsstruktur, welche hier insbesondere in der Exposition streng eingehalten wird.
Weitergehende Erläuterungen:
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Harmonische Struktur, welche "On-To-Sû, So-Na-Ta" zugrunde liegt:
- Bemerkungen zur harmonischen Analyse
ausgewählter Passagen (mit Ausschnitten im MIDI-Format)
- Hauptthema der Exposition
- Die Modulation der Exposition
- Nebenthema der Exposition
- Bemerkung zur Durchführung (1)
- Bemerkung zur Durchführung (2): "Tetraeder"-Passage
- Überleitung zur Reprise: wichtigster Verstoss gegen die Regeln
- Vergleich der Modulationen am Schluss der Exposition und am Schluss der Reprise
Harmonische Struktur, welche "On-To-Sû, So-Na-Ta" zugrunde liegt
Die Notenbeispiele in diesem Kapitel wurden erstellt mit der cappella-Notensatz-Software.
Definition
Zunächst wählte ich eine Skala bzw. Menge von Tönen aus, die (anstelle der diatonischen Skala) als Basis dienen soll. (Es handelt sich, gemäss Numerierung in [1] und [2], um die Nummer 50.)
Anschliessend wählte ich eine Basis für die vorzugsweise zu verwendenden Harmonien (analog zu den Stufen I, II etc.der klassischen Musik). Im konkreten Fall benutzte ich die folgende (willkürliche) Definition:
Dies ergibt die folgenden 8 Akkorde (willkürlich numeriert):
Durch Transposition der Grundskala und der Stufen erhält man 12 "Tonarten": weitere Skalen identischer Struktur sowie die dazugehörigen Akkorde.
Damit haben wir bereits alle Vorgaben für die Komposition "On-To-Sû, So-Na-Ta" genannt! Wenn man will, kann man jetzt sofort zum Klavier hinübergehen... Die grosse Einfachheit ist eine der bestechenden Eigenschaften des Ansatzes.
Kadenzmengen
Als erste Orientierungshilfe in der neuen Klangwelt ist die Idee der Kadenzmenge ausserordentlich hilfreich. Unsere Struktur hat 12 minimale Kadenzmengen - sie steht also zwischen der diatonischen (5) und der Harmonisch-Moll-Skala (21). Die minimalen Kadenzmengen sind im einzelnen:
- {Db-}
- {Cm, C+}
- {Cm, Fm}
- {Cm, Dbm}
- {Cm, Db}
- {Ab, C}
- {Ab, Fm}
- {Ab, Db}
- {C, Dbm}
- {C, Db}
- {C+, Db}
- {Fm, Dbm}
Neutrale Stufen
Das Gegenstück zu Kadenzmengen sind neutrale Stufen, also solche, die nicht eindeutig einer bestimmten Tonart zugeordnet werden können. Im Schönbergschen Modulationsmodell sind sie natürlich insbesondere in Phase I von Bedeutung! Je mehr neutrale Stufen zur Verfügung stehen, desto vielfältiger sind die Modulationsmöglichkeiten - die Anzahl gemeinsamer Elemente bildet ja sowieso auf natürliche Weise ein Mass für die "Distanz" zweier Tonarten. Besonders interessierende Fragestellungen sind daher, für welche Tonarten überhaupt gemeinsame Stufen existieren (was die potentiell bevorzugten Zieltonarten ergibt) bzw. für welche Tonart(en) diese Zahl maximal ist (das sind dann sozusagen "benachbarte" Tonarten).
Wenn man nun die von der klassischen Musik her bekannten Skalen auf neutrale Stufen untersucht, ergibt sich eine weitere interessante Dualität zwischen der diatonischen (Dur-)Skala und Harmonisch Moll: eine Durtonart hat gemeinsame Stufen mit 4 andern Durtonarten, und zwar je zwei Schritte in beide Richtungen auf dem Quintenzirkel. "Benachbarte" Durtonarten (also solche, bei denen die Anzahl gemeinsamer Stufen maximal ist) sind - nicht überraschend! - solche, die genau einen Quintenzirkelschritt auseinander liegen (4 gemeinsame Stufen). Man kann den Quintenzirkel also interpretieren als Veranschaulichung der Distanzen der Durtonarten untereinander - sozusagen der "Modulationstopologie".
Bei Harmonisch Moll sieht diese Modulationstopologie völlig anders aus. Erstens hat eine Harmonisch-Moll-Tonart gemeinsame Stufen mit 8 anderen Molltonarten - Harmonisch Moll bietet also nicht nur in Bezug auf Kadenzmengen, sondern auch bei neutralen Stufen bedeutend mehr Modulationsmöglichkeiten als die diatonische Skala! Zweitens gibt es hier keine eindeutig "am nächsten" liegende Tonarten, die meisten Paare von Tonarten haben 2 gemeinsame Stufen (nur solche im Abstand einer grossen Terz haben nur eine).
Wie sieht das nun bei unserer Stufenmenge aus? Hier hat jede "Tonart" gemeinsame Stufen mit 6 anderen; wie bei den minimalen Kadenzmengen liegt sie also auch hier genau zwischen der diatonischen Skala und Harmonisch Moll. Die maximale Anzahl gemeinsamer Stufen schliesslich wird, anstatt bei Quart- bzw. Quintabstand wie bei der diatonischen, bei Abstand einer grossen Terz erreicht! Die Topologie ist hier also wieder anders - anstatt eines Quintenzirkels haben wir 3 "Terzenzirkel".
Geometrische Eigenschaften
Lässt man den übermässigen Dreiklang weg, erhält man 7 Stufen, und zwar einen verminderten und je 3 Dur- und 3 Mollakkorde, genau gleich wie bei der diatonischen Skala.
Der Nerv ist vierdimensional. Lässt man den übermässigen Dreiklang weg, erhält man die folgende dreidimensionale Struktur:
Die Struktur erinnert stark an das harmonische Möbiusband der diatonischen Skala (sie enthält sogar ein Möbiusband), weist jedoch ein paar wesentliche Unterschiede auf:
-
Durch die Dreidimensionalität ist es unmöglich, einen "Rand" des Bandes anzugeben; ebenso kann man die Stufen nicht auf einleuchtende, kanonische Weise hintereinander anordnen (numerieren).
-
Die Stufen sind nicht alle gleichberechtigt.
Es stellt sich die Frage, was dies musikalisch bedeutet.
Die Skala hat (wie die diatonische Skala - und im Gegensatz zur Harmonisch-Moll-Skala) eine nichttriviale innere Symmetrie; es ist in diesem Fall die Umkehrung am Ton e. Sie wirkt auch auf die Stufenmenge als Symmetrie (bei beliebigen Definitionen nicht selbstverständlich!), und zwar werden natürlich die Moll- und die Durstufen vertauscht, während der übermässige und der verminderte Dreiklang fix bleiben. Es existiert also zu jeder beliebigen Dur-Phrase eine entsprechende Moll-Phrase und umgekehrt; ebenso existiert zu jeder Kadenzmenge eine entsprechende mit vertauschten Dur- und Mollstufen.
Modi
Bisher haben wir die Skala nur als Menge behandelt, ohne einen besonderen Anfangston oder Anfangsakkord auszuzeichnen - wir haben gewissermassen nur die vertikale Struktur betrachtet. Für die praktische Anwendung sind Anfangstöne und -akkorde jedoch von Bedeutung, weswegen ich hier kurz die entsprechenden Strukturen skizziere.
Melodisch gibt es 7 Möglichkeiten, den Basiston zu wählen; uns interessieren insbesondere diejenigen Basistöne, welche Grundton eines Dur- oder Mollakkordes sind. Diese Bedingung erfüllen 4, wobei wir hier gegenüber der klassischen Definition die Besonderheit haben, dass 2 Töne gleichzeitig Moll- und Durbasis sind. Man hat bei diesen Basistönen also die Wahl, in Dur oder in Moll zu komponieren oder gar in beidem gleichzeitig, was diverse eigenartige "rückungschromatische" Effekte ermöglicht.
Da der Basiston allein den Charakters eines Modus nicht hinreichend festlegt, habe ich die Modi nach ihrer Basisstufe numeriert (es handelt sich also um "harmonische Modi"). Wir erhalten 3 Dur-Modi (II, IV und VI) sowie drei Moll-Modi (I, II und V). Die "rückungschromatischen" Modi könnte man mit I/II und III/IV bezeichnen; ich habe diese jedoch im vorliegenden Stück kaum verwendet.
Der Moll-Modus V ist beinahe eine "normale" Moll-Skala (es fehlt nur die Quarte); als Besonderheit enthält er sowohl eine kleine Septime (wie reines Moll) als auch eine grosse (wie Harmonisch-Moll). Unter diesem Blickpunkt sind die Modi I und II von Interesse, denn der Unterschied zwischen Modus I und Modus II entspricht dem Übergang von reinem zu Harmonisch-Moll. Der Modus I hat denn auch Ähnlichkeit mit der Kirchentonart Phrygisch, während der Modus II an Harmonisch-Moll mit der 5. Position als Basiston erinnert - ein häufig in der spanischen Flamenco-Musik verwendeter Modus, der deshalb manchmal als Spanisch-Phrygisch oder auch Spanisch-Dur bezeichnet wird.
Relativ nah zur klassischen Musik ist ausserdem der Dur-Modus IV, der mit seiner übermässigen Quarte einen deutlich lydischen Charakter hat. Dem normalen Dur (Ionisch) entspräche der Modus VI, dem jedoch der Dominant-Akkord fehlt. Am wenigsten mit der klassischen Musik vergleichbar ist der Moll-Modus III.
Vergleich mit der klassischen Harmonik
Sowohl die gegebene Skala als auch die Stufenmenge haben eine recht grosse Ähnlichkeit zur klassischen Harmonik - was nicht sehr erstaunen muss, da die Stufenmenge ja ausschliesslich aus "klassischen" Dreiklängen besteht. Dies vereinfacht einerseits das Komponieren (man muss nicht ständig "rechnen"); andererseits kommt einem unvermeidlicherweise die musikalische Bildung in die Quere (etwa in Form eines Hanges zu "klassischen" Akkordfolgen). Auch als Hörer dürfte man (wie ich anfangs schon gesagt habe) Probleme haben, etwa den genauen Zeitpunkt der Modulationen herauszuhören.
Wenn man die mit der gegebenen Stufenmenge bildbaren Akkordfolgen insgesamt mit der klassischen Harmonik vergleicht, ergibt sich am ehesten ein Charakter von Harmonisch-Moll (Grundton f bzw. Modus V), wobei jedoch einerseits wichtige "klassische" Elemente wie z.B. die IV-V-I-Folge (in Moll wie in Dur) fehlen; andererseits erlaubt eine Massierung von Dreiklängen um 2 einen Halbton auseinanderliegende Grundtöne die schon erwähnten "rückungschromatischen" Effekte. Hier fügt sich übrigens auch der übermässige Dreiklang sehr natürlich ein.
In einem unterscheidet sich die harmonische Struktur des vorliegenden Stücks von der klassischen Harmonik (präziser: von der Harmonik, wie sie sich ca. am Ende des Barockzeitalters herausbildete) ziemlich wesentlich: es gibt keine starke Polarität wie die von Dur und Harmonisch-Moll (letztere benutzt 2 verschiedene Stufenmengen! Siehe dazu hier). Da ausserdem der Grundton der Skala nicht festgelegt ist, variiert der musikalische Charkter leicht je nach gerade vorherrschendem Anfangston - mehr Dur oder mehr Moll, beides zugleich oder gar keines.
Bemerkungen zur harmonischen Analyse ausgewählter Passagen
Als Form wählte ich die des klassischen Sonatensatzes - eine Form mit teils vorgegebener Modulationsstruktur, welche hier insbesondere in der Exposition streng eingehalten wird. Dadurch lassen sich die Abweichungen vom klassischen Fall besonders gut studieren.
Bemerkungen zur Exposition
Midi-Datei: Hauptthema der Exposition
Das Stück beginnt im Modus II, dem
"spanischen" Modus - und das Eingangsmotiv hat denn auch entfernte
Ähnlichkeit mit einer Flamenco-Kadenz.
(Die Modi I und II sind übrigens die Modi, welche in "On-To-Sû,
So-Na-Ta" am häufigsten vorkommen - der Grund dafür ist wohl am
ehesten psychologischer Art, da beide den Grundton C haben.)
Strenggenommen liegt übrigens schon der zweite Akkord (Db-F-G)
ausserhalb der Stufenmenge (nicht jedoch ausserhalb der Skala). Man
kann dies als Betonung des Umstands auffassen, dass ich das Stück
in erster Linie als Musik verstanden haben möchte und erst in
zweiter Linie als Experiment. Es gibt noch mehrere solche Stellen
im Stück, sie bleiben jedoch vereinzelt. Der Tonvorrat der Skala
wird bis auf eine Stelle (worauf ich noch zu sprechen komme)
eigentlich nie durchbrochen.
In der Entwicklung des Anfangsmotivs werden Akkorde angespielt, welche f'ür "klassische" Ohren die Anfangstonart bereits für Momente zu verlassen scheinen, sich gemäss der geltenden Stufendefinition jedoch vollkommen in ihr befinden. Man kann postulieren, dass ein an diese Harmonik gewöhnter Hörer dies sofort richtig erkennt.
Midi-Datei: die Modulation der Exposition
Dass sich die Modulation der Exposition irgendwo in dieser Phrase ereignet, ist einigermassen klar - an welcher Stelle genau jedoch nicht ganz: vom "klassischen" Standpunkt gibt es (mindestens) 3 Stellen, die in Frage kommen. Der erste Kandidat ist das Erscheinen des As-Dur-Akkords:
(Notenbeispiele erstellt mit der
cappella-Notensatz-Software)
Doch wenn wir uns die Stufendefinition in Erinnerung rufen, sehen wir sofort, dass die Originaltonart noch nicht verlassen wurde. Interessant ist, dass der zweite Takt genau gleich klingt wie der erste, da der Abstand zwischen den zwei Dur-Akkorden genau eine grosse Terz beträgt. Wir haben hier also zwei eine Sequenz von 2 Akkordfolgen innerhalb der Tonart im Abstand einer grossen Terz - etwas, was es in der klassischen Harmonik nicht gibt.
Der zweite Kandidat für den Tonartwechsel ist das Erscheinen des G-Dur-Akkords im nächsten Takt:
Und diesmal passiert es: mit dem G-Dur-Akkord wird die Anfangstonart verlassen. Der G-Dur-Dreiklang bildet zusammen mit dem direkt vorangehenden As-Dur-Dreiklang die Kadenzmenge Nr. 10; zusätzlich erklingt direkt danach der verminderte Dreiklang (Kadenzmenge Nr. 1). Der Rest der Phrase liegt - was immer einem die Hörgewohnheit suggerieren möchte - bereits vollständig in der neuen Tonart! Der hypothetische, an diese spezielle Harmonik gewohnte Hörer wird auch dies ohne Schwierigkeiten erkennen.
Midi-Datei: Nebenthema der Exposition
Das Nebenthema beginnt im Modus I mit einer Sequenz ganz klassicher Form (phrygisch); anschliessend werden kurz die 3 Dur-Modi angespielt, wobei der lydische Charakter der Modus IV deutlich wird.
Bemerkungen zur Durchführung
Midi-Datei: eine weitere Sequenz im Abstand einer grossen Terz
Diese scheinbar wild modulierende Passage ist in Wirklichkeit streng innerhalb derselben Tonart gehalten; sie würde für einen an diese Harmonik gewohnten Zuhörer also nur halb so wild klingen. Wir haben hier eine weitere Sequenz zweier Akkordfolgen im Terzabstand, nämlich V-II und III-VI.
Die "Tetraeder"-Passage
Diese Stelle ist eine der wenigen, die durch "Rechnen" entstanden ist. Beim Vergleich des Nervs der Stufenmenge mit dem harmonischen Möbiusband der diatonischen Skala ist ja ein augenfälliger Unterschied die teilweise Dreidimensionalität des ersteren. Ich stand vor der Frage, ob und wie man eine solche Struktur musikalisch veranschaulichen könnte - und vor dem Problem, dass eine Akkordfolge immer etwas "Lineares" hat. Die von mir gewählte "Lösung" bestand darin, von einer Ecke des Tetraeders aus alle Kanten zu den 3 anderen Ecken zu durchfahren, Das ergibt für den ersten Tetraeder die Akkordfolge:
und für den zweiten die Akkordfolge:
Im Stück ist zwischen beiden Akkordfolgen noch eine kleine Modulation einen Halbton hinauf eingeschaltet - sie geht dank der vielen nur einen Halbton entfernten Stufen ausserordentlich glatt vorüber.
Midi-Datei: Durchführung - "Tetraeder"-Passage
(N.B. Natürlich hört man nicht, dass hier ein Tetraeder beschrieben werden soll. Dazu gäbe es ggf. bessere Möglichkeiten - aber wenigstens ist hiermit diese eigenartige Akkordfolge erklärt.)
Bemerkungen zur Reprise
Midi-Datei: Überleitung zur Reprise
Diese Passage hebt sich vielleicht auf den ersten Blick kaum vom Rest ab; unserem hypothetischen Hörer hingegen dürfte sofort die Akkordfolge C-Bb auffallen, welche in keiner einzigen Tonart enthalten ist. Es ist dies die einzige Stelle im Stück, wo die zugrundeliegende Harmonik für längere Zeit praktisch ausser Kraft gesetzt ist.
Midi-Datei: Schluss der Exposition - Midi-Datei: Schluss der Reprise
Beide Passagen beinhalten eine Modulation, und diese klingen auf den ersten Blick gleich: bei beiden gibt es einen Schritt von der Dur-Stufe IV zu einem eine Quarte höherliegenden Molldreiklang (was für klassisch gebildete Ohren wie eine V-i-Mollkadenz klingt). Während es sich jedoch bei der ersten Modulation um die an dieser Stelle zu erwartende Standard-Modulation von der Dominant- zurück zur Tonika-Tonart handelt, liegt die Zieltonart der zweiten (was allerdings erst zwei Takte später restlos klar ist) einen Tritonus entfernt! Der die Modulation einleitende Fundamentalschritt ist im ersten Fall die Stufe III, im zweiten Fall die Stufe I. Der Grund für diese Wahl der Zieltonart lag hier darin, dass mir so die kurz danach folgende Modulation in die Gegenrichtung besser gefiel. (Andernfalls würde sie so klingen.) Möglicherweise lässt sich bei einer Analyse nach der Theorie von Mazzola hierfür eine theoretische Begründung finden.
Zum Schluss noch einmal: die KOMPLETTE MIDI-DATEI.